在本系列关于粒度及其分布的上一篇文章中，我们已使用连续分布定义了微分粒度分布和累积粒度分布函数的主要特征，并对此进行了讨论。连续分布可以通过分级实验†近似测量。例如，当分级后的分布片段通过检测器时，每秒采集一次数据，从而得出粒径和含量*。然而，粒度本质上是离散的。因此，让我们来研究一下由单颗粒计数器测量的离散分布。‡这里的“含量” 指的是在由上下限定义的粒度范围中颗粒的数量、计数或频率。
累积分布表格格式：
| 粒度范围（单位：μm） | 计数 | 百分比 | 累积百分比 |
|---|---|---|---|
| 0-4 | 104 | 10.4 | 10.4 |
| 4-6 | 160 | 16.0 | 26.4 |
| 6-8 | 161 | 16.1 | 42.5 |
| 8-9 | 75 | 7.5 | 50.0 |
| 9-10 | 67 | 6.7 | 56.7 |
| 10-14 | 186 | 18.6 | 75.3 |
| 14-16 | 61 | 6.1 | 81.4 |
| 16-20 | 79 | 7.9 | 89.3 |
| 20-35 | 103 | 10.3 | 99.6 |
| 35-50 | 4 | 0.4 | 100.0 |
| >50 | 0 | 0.0 | 100.0 |
| 总计 | 1000 | 100% |
总计统计了1000颗颗粒（第二列），因此只需将小数点向左移动一位（如 104 变为 10.4%，第三列），即可轻松计算出每个粒度范围（第一列）的百分比。累计小于某一粒度的百分比（第四列）通过将当前粒度范围的百分比与上方所有粒度范围的百分比相加得出。因此，第一个粒度范围的累积百分比为 10.4%；第二个为 10.4% + 16.0% = 26.4%；第三个为 16.1% + 26.4% = 42.5%；以此类推，直至达到100%。
累积分布的图形格式
如果我们以每个粒度范围的上限为横坐标，以累积百分比为纵坐标进行绘图，即可得到累积小于某一粒度的分布图。如上图所示。
本例由 10 个大小不等的粒度范围组成，这在讨论频率分布时会产生影响。但在讨论累积小于某一粒度的分布时，粒度范围数量相对较少会更直观易懂。
百分位数直径是从图中读取的；然而，在这个特定的例子中，它们也可以直接从表格数据中估算得出，其中中位径d50恰好为 9 μm。
黑色的点表示原始数据，在零点处额外添加了一个点以便观察。红线表示连续累积小于某一粒度的分布的平滑曲线。显然，由于数据点很少，还可以绘制出多条不同的平滑曲线。或者，如果已知累积小于某一粒度的分布的简单函数形式，则可对其进行非线性最小二乘拟合。问题：大多数粒度分布不符合简单的函数形式。偶尔有些分布符合，如对数正态分布（两个参数），但并不多。
如果没有可求导的简单函数形式，或者像这里一样数据点太少，那么数值微分就非常不可靠。在这种情况下，为了确定平均值、众数值和宽度度量，应如何获得与微分粒度分布等效的数据呢？
答案：从直方图入手。
频率分布直方图
该图展示了不同粒度范围（第一列）下颗粒的数量（第二列）。在统计学中，这被称为每个粒度范围的出现频率。
但这看起来并不太像粒度分布，对吗？
原因很简单：粒度级并不都是相同的，因此，在我们采取措施解决这个问题之前，我们无法识别出与本系列前文所展示的微分粒度分布类似的内容。
为了解决这个问题，将颗粒数量除以粒度范围宽度，由此可得每微米的频率（见下表第三列）。这使得我们能够比较不同粒度范围下的分布。
| 粒度范围（单位：μm） | 计数 | 每微米的频率 | 每微米的占比 |
|---|---|---|---|
| 0-4 | 104 | 26.0 | 0.0260 |
| 4-6 | 160 | 80.0 | 0.0800 |
| 6-8 | 161 | 80.5 | 0.0805 |
| 8-9 | 75 | 75.0 | 0.075 |
| 9-10 | 67 | 67.0 | 0.0670 |
| 10-14 | 186 | 46.5 | 0.0465 |
| 14-16 | 61 | 30.5 | 0.0305 |
| 16-20 | 79 | 19.8 | 0.0198 |
| 20-35 | 103 | 6.87 | 0.0687 |
| 35-50 | 4 | 0.267 | 0.0003 |
| >50 | 0 | 0 | |
| 总计 | 1000 |
每微米频率与粒度范围的关系图
将第三列（每微米频率）与第一列（粒度范围）作图，开始呈现出粒度分布的样子：
可以看到众数直径大约在 6 μm 附近。并且可以按如下公式计算平均直径：
其中，Ni为第二列中的数值，即颗粒的频率（计数或数量），di为第一列颗粒粒度范围的中点值。对 i 值从 1 到 10 的粒度范围进行求和，结果得出数量平均直径为 10.8 μm。
甚至可以估算半峰宽宽：由于最大值约为 80，其一半就是 40。在 40 处画一条水平线，它与单峰图在 4 μm和 14 μm 处相交。因此，半峰宽（FWHM）为 10 μm，半峰半宽（HWHM）为 5 μm。
现在，任何柱形的面积都代表该粒度范围内的总量，在此情况下为颗粒的数量。这类似于连续微分分布曲线在任意两个直径之间的面积。在频率分布中，柱形的高度代表该粒度范围内的颗粒总数。
因此，通过频率/微米图表示等效的微分颗粒粒度分布，我们可以再次确定平均直径、众数直径、半峰宽以及粒度分布宽度的其他绝对和相对度量。然而，以下是我们无法做到的：除非计数的颗粒总数相等，否则我们无法比较两个不同的分布。
每微米的占比与粒度范围的关系图
为了比较不同总数量的分布，我们必须将每个粒度范围内每微米的频率除以颗粒总数（1000）。这样就得到了每微米的占比，即第四列。每微米的占比与粒度范围的垂直条形图如下所示：
其形状与 每微米的频率完全相同，但 y 轴现在是每微米的占比。如果你有不同的测量数据，就可以在这种类型的图中叠加展示，以查看它们是否相同。
在此还可以做一件事，来呈现离散的 “占比 /粒度范围” 图是如何开始类似于连续微分分布的。使用平滑且连续的曲线连接每个柱形的中点，这样得到的图形就类似微分粒度分布。尽管可以绘制出许多类似的平滑曲线。
哪种离散分布是最佳的数据呈现方式？
如果粒度范围相对较少，且没有理由认为某个特定函数能很好地拟合数据，则仅使用从累积小于某一粒度的分布中获得的统计数据：中位数、百分位数、跨度等。这些数值的误差最小。
总结
与连续分布的情况类似，人们可以从离散的表格数据构建累积小于某一粒度的离散分布，并确定中位数、百分位数和分布宽度的度量。构建类似于连续微分分布的图形更为困难。
若要构建类似图形，可从 “频率与粒度范围” 的表格和图形入手。如果所有粒度范围都相等，则将每个频率除以颗粒总数，并创建 “占比/粒度范围” 图。
如果粒度范围不相等，则先将每个频率除以其自身的粒度范围宽度，然后再除以颗粒总数。
如果粒度范围的数量足够多，看看能否通过连接中点构建出类似平滑微分分布的图形。
† 例如重力沉降和离心沉降、场流分离、流体动力学色谱法等。
* 含量可以是数量加权、表面积加权、体积加权、质量加权或光强加权。不同加权方式得到的分布之间会有差异。加权的主题在本系列关于粒度测量的另一篇文章中进行了讨论。
‡ 单颗粒计数器包括电感应区计数器和光感应区计数器、图像分析仪以及单颗粒追踪装置。